Como estudar matemática?

Sites em língua portuguesa são profundamente infelizes em termos de conselhos para aqueles que desejam de fato conhecer matemática. Investiguei dezenas deles e tudo o que encontrei foram dogmas injustificados, discursos repetitivos típicos da mentalidade "estude para passar em exames". Então aqui vai uma lista de observações e recomendações que, se forem de fato seguidas, podem ajudar consideravelmente aqueles que desejam compreender este ramo do conhecimento. Se o objetivo do leitor é encontrar dicas para passar em provas de matemática, por favor, não se iluda. Provas de matemática não são ferramentas confiáveis para avaliar conhecimentos de matemática.

1) Por que é difícil entender matemática? Comumente alunos reclamam que matemática lida com conceitos muito abstratos, como conjuntos, funções, matrizes, números complexos, entre outros. Por conta disso, alunos julgam que matemática é assunto difícil de entender ou até inacessível. De fato, matemática é uma ciência difícil de compreender, sem dúvida. E chega a ser assunto incompreensível para certas mentes. Mas esta dificuldade pouco tem a ver com a abstração empregada nesta ciência. A principal dificuldade com o aprendizado de matemática reside na falta de familiaridade com os conceitos estudados. Explico. Abstração é um processo mental no qual ideias são distanciadas de objetos do mundo real. Neste sentido, abstração é um processo cognitivo muito usual. "Vermelho", por exemplo, é um conceito abstrato, apesar de uma camisa vermelha específica ser um objeto concreto, que faz parte do mundo real. Uma bola vermelha também pode ser um objeto real, assim como uma unha pintada com esmalte vermelho. Porém, "vermelho" é uma propriedade abstraída daquilo que efetivamente é vermelho. É a propriedade comum a todos os objetos vermelhos que existiram, existem, existirão e que poderiam existir. Neste sentido, "vermelho" também é um conceito abstrato, assim como as noções de conjunto e número, na matemática. Vermelho é um conceito abstrato simplesmente porque vermelho não pode existir sem que associemos esta cor a algum objeto do mundo real. Mas, o conceito "vermelho" é mais ou menos assimilado pelas pessoas porque elas estão apenas acostumadas a identificar objetos vermelhos em seu cotidiano. A matemática, por sua vez, lida com conceitos com os quais as pessoas em geral não estão acostumadas. Portanto, para facilitar o aprendizado de matemática é necessário que a pessoa interessada se familiarize com os seus conceitos, sem perder tempo com o impacto psicológico causado pelo processo de abstração. Abstração é um processo cognitivo muito usual, entre todas as pessoas. O problema da compreensão de matemática nada tem a ver com o nível de abstração de seus conceitos, mas apenas com a falta de familiaridade sobre os objetos de estudo de matemáticos e sobre a maneira como matemáticos lidam com tais objetos abstratos. Para detalhes sobre esta questão, recomendo este link. Para uma pessoa ser capaz de se familiarizar com matemática, é necessário que ela abra a sua mente para a possibilidade da existência de novos mundos além daquele que os sentidos físicos permitem perceber. O estudo de matemática é um exercício de percepção de mundos para além dos sentidos físicos.

2) Quais são os objetos de estudo de matemáticos? Para responder a esta questão é importante entender que matemáticos não colocam limites de abstração sobre os objetos de estudo desta ciência. Neste sentido, existem muitas abordagens diferentes para se fazer matemática. Existem matemáticos que trabalham com um assunto chamado teoria de categorias. Para eles, os objetos estudados são morfismos, funtores e transformações naturais. Outros trabalham com mereologia, um ramo da matemática no qual os objetos de estudo são simplesmente chamados de "objetos". E os objetos da mereologia, em princípio, nada têm a ver com morfismos, funtores ou transformações naturais. Mas também pouco têm a ver com objetos do mundo real. Porém, para a maioria dos matemáticos, os objetos de estudo da matemática são conjuntos. E existem muitas teorias de conjuntos na literatura matemática. No entanto, nas teorias de conjuntos mais comuns, os conceitos realmente fundamentais são apenas dois: pertinência e igualdade. A partir dos conceitos de pertinência e igualdade é possível definir uma vasta miríade de relações entre conjuntos e operações. Uma das principais consequências disso, é que os conceitos de pertinência e igualdade entre conjuntos permitem definir funções, números, matrizes, conceitos geométricos, conceitos algébricos, conceitos topológicos, entre inúmeros outros. Ou seja, se você deseja entender matemática de fato, o primeiro passo natural é conhecer muito bem pelo menos uma teoria usual de conjuntos. Detalhes podem ser encontrados neste pequeno livro. Além disso, as linguagens da matemática são radicalmente diferentes das linguagens naturais, como o Português. Todas as linguagens naturais são comprometidas com a noção de significado. Aquilo que se expressa na língua portuguesa deve necessariamente ter um significado, mesmo que este significado seja algo puramente fantasioso. Já as linguagens da matemática não apresentam esta característica, pelo menos não da mesma forma como ocorre na língua portuguesa. Modelos matemáticos semelhantes podem ser usados para descrever uma dinâmica populacional de peixes ou as relações amorosas entre casais. Os objetos de estudo da matemática são intercambiáveis em termos de possíveis significados, podendo até mesmo serem desprovidos de qualquer significado. Familiarizar-se com as linguagens da matemática é uma forma de perceber linguagens para além dos significados usualmente empregados no cotidiano de todos nós.

3) Quais são os modos de raciocínio usados na matemática? Existem diferenças profundas entre os modos de pensar e agir de matemáticos e demais pessoas. Considere, por exemplo, um dicionário da língua portuguesa. Em um dicionário típico a palavra "conjunto" pode ser encontrada como sinônimo de "grupamento", sendo que "grupamento" é sinônimo de "agrupamento". "Agrupamento", por sua vez, é sinônimo de "união", enquanto "união" é sinônimo de "mescla", que é sinônimo de "grupo", que é sinônimo de "agregação", que é sinônimo de "complexo". E "complexo", por sua vez, é sinônimo de "conjunto". Ou seja, se dependermos exclusivamente de dicionários para entender o que é um conceito específico, apenas andaremos em círculos, com sinônimos que simplesmente nos levarão de volta ao conceito que queremos entender. Isso porque a língua portuguesa, como qualquer linguagem natural, conta com um vocabulário finito e é desprovida de estrutura lógico-axiomática. Como, então, uma pessoa comum entende o que é um conjunto, do ponto de vista da língua portuguesa? Isso ocorre através de um processo de abstração muito natural, induzido por meio de exemplos. Se um professor de língua portuguesa deseja conceituar "conjunto", normalmente este professor dará exemplos de conjuntos (construindo frases que fazem uso da palavra "conjunto"): conjunto de elefantes, conjunto de computadores, conjunto de pessoas. E, em geral, pessoas se sentem satisfeitas com exemplos, para criar intuições sobre conceitos. No entanto, matemáticos não se contentam com esta estratégia de conceituação, justamente porque ela depende de modos de percepção individual, os quais variam de uma pessoa para outra. Nem todos percebem o conceito de vermelho da mesma maneira. Matemáticos perceberam que apenas o emprego de linguagens não basta para entender conceitos e operar com eles. Matemáticos lidam com teorias formais, sendo que estas são definidas a partir de dois ingredientes indispensáveis: linguagem e lógica. Matemáticos explicitam claramente as linguagens com as quais lidam e as formas de inferência usadas para operar com os elementos de tais linguagens. E as linguagens e lógicas mais empregadas são aquelas usadas em teorias de conjuntos. Conjunto, para um matemático, nada tem a ver com aquilo que um dicionário de língua portuguesa conceitua como conjunto. Por conta disso tudo, tome muito cuidado ao se referir a conceitos matemáticos: eles não existem no mundo real. 

4) Como posso me familiarizar com matemática? Na maioria dos sites da internet existem afirmações da seguinte natureza: para estudar matemática é necessário fazer muitos exercícios. De fato, é impossível para qualquer ser humano entender matemática apenas com leituras. Menos ainda se aprende apenas ouvindo um professor de matemática durante uma aula. Isso acontece pelos motivos acima expostos. Portanto, fazer muitos exercícios de matemática é uma estratégia de familiarização com o tema. Mas, ao contrário do que muitos sugerem, não é o bastante. Uma pessoa pode se tornar habilidosa para resolver exercícios de matemática, sem de fato entender matemática alguma. Analogamente, um macaco pode imitar Elvis Presley, sem jamais compreender por que Elvis se vestia e se movia da forma como se vestia e se movia em seus shows.

Repetir procedimentos e técnicas nada tem a ver com a compreensão de procedimentos e técnicas. Familiarização com matemática demanda o domínio de técnicas e procedimentos a ponto de permitir improvisações e até questionamentos sobre tais técnicas e procedimentos. Cito meu exemplo preferido. Considere um professor de matemática que afirma que seno de um ângulo agudo alfa é a razão entre a medida do cateto oposto a alfa e a medida da hipotenusa de um dado triângulo retângulo no qual um de seus ângulos internos é alfa. Este professor pode apresentar uma lista de exercícios que permita o aluno calcular o seno de uns poucos ângulos: 30 graus, 45 graus e 60 graus. E o aluno pode ser bem sucedido para calcular o seno desses ângulos, usando a suposta conceituação dada pelo professor. Mas o aluno compreendeu o que é seno? Para responder a esta questão, que tal propor um exercício impossível de ser resolvido? Que tal tentar responder como se calcula o seno de 2,03 graus, usando este suposto conceito de seno em termos de cateto oposto e hipotenusa de um triângulo retângulo? O aluno perceberá que proporções de medidas de lados de um triângulo retângulo são uma péssima forma de conceituar o que é seno. Isso acontece porque a maioria dos professores de matemática é formada por pessoas que apenas repetem procedimentos, sem de fato conhecer matemática. A maioria dos professores e autores de matemática, pelo menos em nosso país, são como macacos imitadores de Elvis Presley.

5) Como saber se um autor ou professor é confiável, no que diz respeito aos seus conhecimentos de matemática? As pessoas mais qualificadas para falar sobre matemática são aquelas que efetivamente fazem matemática e não aquelas que simplesmente repetem conteúdos já existentes em livros, apostilas e sites. Se um professor apenas copia conteúdos de algum livro, em suas aulas, este docente não é nada confiável. Se um professor afirma que na matemática existe uma distinção clara entre o certo e o errado, este profissional não é nem um pouco confiável. Se um professor professa matemática como se esta ciência fosse definida por mandamentos sagrados (Não dividirás por zero!; Não questionarás os criadores da matemática!), este instrutor lamentavelmente não é confiável. Porém, se um professor de matemática discute sobre diferentes maneiras para resolver um mesmo problema, esta postura o torna bem mais confiável. Se um professor de matemática é o autor de pelo menos uma demonstração não trivial de matemática, publicada em periódico especializado, isso o torna bem mais confiável. Quem sabe, faz. Mas o fato é que nenhum ser humano é infalível. Matemática é uma atividade social. Sem discussão crítica, não há como compreender matemática. E discussões sobre matemática devem ser promovidas com pessoas que realmente fazem matemática, que criam matemática, que discutem sobre aspectos importantes da matemática jamais mencionados em livros. Isaac Newton foi um dos criadores do cálculo diferencial e integral. Mas este ramo da matemática triunfou não por respeito a Isaac Newton ou por votos de alunos. Este ramo do conhecimento se estabeleceu após séculos de discussões entre matemáticos, físicos e filósofos. Salas de aula são péssimos ambientes para conhecer matemática. Isaac Newton, por exemplo, não foi o professor de cálculo dos atuais professores de cálculo. Isaac Newton não convenceu o mundo sobre o cálculo diferencial e integral, atribuindo notas altas para aqueles que concordavam com ele e notas baixas para quem discordava. Isaac Newton convenceu o mundo sobre o cálculo diferencial e integral por que suas ideias foram inspiradoras e serviram de semente para que outros matemáticos desenvolvessem suas próprias ideias, fazendo ajustes, analisando criticamente, resolvendo problemas importantes. Um bom professor de matemática é aquele que estimula discussões. Um bom aluno de matemática é aquele que testa criticamente as ideias expostas em sala de aula e em livros.

6) Como entender matemática, se não conheço sequer matemática básica? Vejo frequentemente em sites afirmações do seguinte tipo: "matemática se estuda sequencialmente". Esta mentalidade de que o estudo de matemática começa com temas básicos e avança para tópicos mais avançados é típica daqueles que nunca estudaram de fato matemática. É incrível como este país é infestado por pessoas que opinam sobre aquilo que não conhecem! Já tive alunos que sabiam os procedimentos iniciais para calcular a integral de uma função, mas erravam em contas de matemática básica, que deveriam ser dominadas desde o ensino fundamental. E esses alunos sentem vergonha disso. Ótimo que sintam vergonha! É para sentir vergonha mesmo! Mas não saber matemática básica, mesmo em estudos avançados desta disciplina, é algo perfeitamente normal! É algo normal entre todos, sejam alunos ou mestres. E é normal porque matemática não é uma escada, cujos degraus acima dependem de degraus mais baixos para serem alcançados. Matemática é mais semelhante a um oceano, no qual seus estudiosos navegam e mergulham. Se um aluno se atrapalha com somas de frações, isso não desmerece seus conhecimentos mais avançados sobre derivadas e integrais. Isso apenas demonstra que suas dificuldades com matemática básica precisam ser vencidas. E, para vencer essas dificuldades, novamente devemos apelar à familiaridade com matemática. O bom aluno de matemática é aquele que busca por desafios, por conta própria, e não aquele que espera passivamente que seu professor apresente exercícios cada vez mais difíceis de resolver. E o aluno excelente é aquele que desafia a própria matemática, com questões críticas. Exemplos: (i) por que matemáticos definem a raiz quadrada de um número real negativo e não definem divisão por zero? (ii) por que a multiplicação de um número real positivo por um número real negativo deve ser um número real negativo? Como explicar isso usando somente os conceitos fundamentais da teoria de conjuntos, a saber, pertinência e igualdade? (iii) como explicar que 2 + 2 = 4 sem usar exemplos do mundo real? (iv) se um ponto tem comprimento zero, como podem infinitos pontos formarem uma reta de comprimento infinito? (v) Se um segmento de reta tem infinitos pontos e uma reta tem infinitos pontos, então o infinito da reta é maior do que o infinito do segmento de reta? Como isso é possível? Perguntas como essas, feitas a um professor de matemática, devem revelar ao aluno que mesmo seus professores podem ser perfeitamente ignorantes sobre matemática básica. Errar é humano. 

7) Qual é o sentido de estudar algo que jamais usarei na vida? É impressionante como pessoas se julgam capazes de prever o que usarão em suas vidas. Um indivíduo que afirma que jamais usará matemática em sua vida é alguém dominado por uma ignorância profunda, alarmante, delirante e desesperançosa. Além disso, pessoas se interessam o tempo todo por coisas que jamais usam em suas vidas. Pessoas se interessam por fofocas de celebridades, por músicas, por filmes, por acidentes em estradas, por notícias sobre desastres, por palácios, por carros esportivos raros, por selfies, por piadas, por opiniões dos outros, por fotos de bichinhos fofinhos.

O que há de útil na foto de um cão que dorme todos os dias sobre o túmulo de seu antigo dono? Ou será que uma foto dessas revela algo sobre o íntimo daqueles que sabem apreciar a imagem? Algo parecido acontece com a matemática. Entender matemática é entender o próprio ser humano. Afinal, matemática é uma ciência criada e desenvolvida por seres humanos e para seres humanos. A língua portuguesa, por exemplo, é um semi-grupo livre, ou seja, um conceito matemático. Toda música ocidental é uma sequência de múltiplos inteiros de meio. Em outras palavras, quando você fala ou canta, está usando matemática, mesmo que não perceba. Afirmar que jamais usará matemática na vida é simplesmente uma mentira ou um delírio. Portanto, se você não quer estudar matemática de maneira formal, seja pelo menos honesto e repita diante do espelho: "Jamais quero ter consciência alguma da maneira como uso matemática todos os dias. Prefiro não saber certas coisas a meu respeito."

8) Como realizar estudos obrigatórios de matemática, se não gosto de matemática? Em primeiro lugar, é preciso saber a diferença entre não gostar de matemática e não gostar de aulas de matemática. Uma pessoa pode detestar aulas de matemática simplesmente porque as aulas que conheceu são muito ruins. Neste caso, o melhor a fazer é seguir as orientações dadas acima, para que a pessoa possa avaliar se gosta ou não de matemática. Em segundo lugar, é importante perceber que os atuais modelos de educação formal não respeitam de forma alguma preferências pessoais. Para os indivíduos que buscam por liberdade intelectual na forma de homeschooling ou autodidatismo, recomendo a leitura desta entrevista. Em terceiro lugar é igualmente importante levar em conta o meio cultural no qual estudantes estão inseridos. Os valores culturais de nosso país, por exemplo, são voltados a uma estreita visão sobre utilidade. Qualquer conhecimento importante, na visão do brasileiro médio, deve ser útil de alguma forma. Se um conhecimento não for útil no mundo real, então não precisa ser estudado. E a experiência que tenho é que tal visão se mostra tristemente intransigente, mesmo entre jovens. Jovens intransigentes a respeito de valores pessoais são jovens que condenam o futuro. Explicar matemática para uma pessoa de mentalidade voltada exclusivamente àquilo que se mostra útil é como explicar a diferença entre vermelho e azul para um cego de nascença. E o resultado desta cultura é um povo de cultura miserável. Não é por acaso que o brasileiro médio sabe tão pouco sobre o mundo em que vive. Portanto, o aluno deve tomar uma decisão, entre as seguintes alternativas: (i) desista da escola e invista em um futuro profissionalizante que exija um mínimo de matemática ou (ii) mude profundamente sua mentalidade. Se optar pelo item (i), a pessoa pode ser perfeitamente feliz e produtiva. Se optar pelo item (ii), a pessoa pode ser criativa e ajudar o seu contorno social a crescer com ela. Se for o último caso, comece a ler os grandes clássicos da literatura mundial, ouça os grandes clássicos da música erudita, aprenda a arte de apreciar obras de arte, faça parte de círculos sociais formados por pessoas que saibam muito mais do que você. Enfim, diversifique sua visão de mundo. Pessoas com permanente contato com múltiplas formas de cultura têm a tendência de melhorar consideravelmente seus modos de percepção. E quem enxerga melhor, encontra maior facilidade para fazer melhor.


Este texto é de autoria de Adonai Sant'Anna, professor de matemática da Universidade Federal do Paraná.